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数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。被誉为“最纯”的数学领域。 正整数按乘法性质划分，可以分成质数，合数，1，质数产生了很多一般人也能理解而又悬而未解的问题，如哥德巴赫猜想，孪生质数猜想等，即。很多问题虽然形式上十分初等，事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。数论除了研究整数及质数外，也研究一些由整数衍生的数（如有理数）或是一些广义的整数（如代数整数）。 整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。

代数是一个较为基础的数学分支。它的研究对象有许多。诸如数、数量、代数式、关系、方程理论、代数结构等等都是代数学的研究对象。 初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解变数的概念和如何建立多项式并找出它们的根。 代数的研究对象不仅是数字，还有各种抽象化的结构。例如整数集作为一个带有加法、乘法和序关系的集合就是一个代数结构。在其中我们只关心各种关系及其性质，而对于“数本身是什么”这样的问题并不关心。常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。

代数几何是数学的一个分支，经典代数几何研究多项式方程的零点，而现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。 代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有平面代数曲线，比如直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线、三次曲线（非奇异情形称作椭圆曲线）、四次曲线（如双纽线，以及卵形线）、以及一般n次曲线。代数几何的基本问题涉及对代数簇的分类，比如考虑在双有理等价意义下的分类，即双有理几何，以及模空间问题，等等。 代数几何在现代数学占中心地位，与多复变函数论、微分几何、拓扑学和数论等不同领域均有交叉。始于对代数方程组的研究，代数几何延续解方程未竟之事；与其求出方程实在的解，代数几何尝试理解方程组的解的几何性质。代数几何的概念和技巧都催生了某些最深奥的数学的分支。

几何学简称几何，是数学的一个基础分支，主要研究形状、大小、图形的相对位置等空间区域关系以及空间形式的度量。许多文化中都有几何学的发展，包括许多有关长度、面积及体积的知识。几何学可见的特性让它比代数、数论等数学领域更容易让人接触，不过一些几何语言已经和原来传统的、欧几里得几何下的定义越差越远，例如碎形几何及解析几何等。现代概念上的几何其抽象程度和一般化程度大幅提高，并与分析、抽象代数和拓扑学紧密结合。

拓扑学（英语：topology）是一门研究拓扑空间的学科，主要研究空间内，在连续变化（如拉伸或弯曲，但不包括撕开或黏合）下维持不变的性质。在拓扑学里，重要的拓扑性质包括连通性与紧致性。 拓扑学是由几何学与集合论里发展出来的学科，研究空间、维度与变换等概念。这些词汇的来源可追溯至哥特佛莱德·莱布尼兹，他在17世纪提出“位置的几何学”（geometria situs）和“位相分析”（analysis situs）的说法。李昂哈德·欧拉的柯尼斯堡七桥问题与欧拉示性数被认为是该领域最初的定理。“拓扑学”一词由利斯廷于19世纪提出，虽然直到20世纪初，拓扑空间的概念才开始发展起来。到了20世纪中叶，拓扑学已成为数学的一大分支。

数学分析（英语：mathematical analysis）区别于其他非数学类学生的高等数学内容，是分析学中最古老、最基本的分支，一般指以微积分学、无穷级数和解析函数等的一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数、测度和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。它也是大学数学专业的一门基础课程。 数学分析研究的内容包括实数、复数、实函数及复变函数。数学分析是由微积分演进而来，在微积分发展至现代阶段中，从应用中的方法总结升华为一类综合性分析方法，且初等微积分中也包括许多数学分析的基础概念及技巧，可以认为这些应用方法是高等微积分生成的前提。数学分析的方式和其几何有关，不过只要任一数学空间有定义邻域（拓扑空间）或是有针对两物件距离的定义（度量空间），就可以用数学分析的方式进行分析。

非标准分析（Non-standard analysis），数学中利用现代数理逻辑把通常实数结构扩张为包括无穷小与无穷大的结构而形成的一个新分支。

积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对。许多数学物理问题需通过积分方程或微分方程求解。积分方程是近代数学的一个重要分支。数学、自然科学和工程技术领域中的许多问题都可以归结为积分方程问题。正是因为这种双向联系和深入的特点，积分方程论得到了迅速地发展，成为包括众多研究方向的数学分支。

泛函分析（英语：Functional Analysis）是现代数学分析的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的函数空间。泛函分析历史根源是由对函数空间的研究和对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究。这种观点被证明是对微分方程和积分方程的研究中特别有用。 使用泛函这个词作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数，这意味着，一个函数的参数是函数。这个名词首次被阿达马在1910年使用于这个课题的书中。是泛函分析理论的主要奠基人之一。然而，泛函的一般概念以前曾在1887年是由意大利数学家和物理学家维多·沃尔泰拉（Vito Volterra）介绍。非线性泛函理论是由阿达马的学生继续研究，特别是弗雷歇（Maurice Fréchet）可和列维（Levy）。阿达马还创立线性泛函分析的现代学校，并由里斯和一批围绕着巴拿赫（Stefan Banach）的波兰数学家群体进一步发展。

计算数学是数学的一个分支，研究的内容包括设计和分析算法以及数学建模等，目的是为了在实际工程中利用快速稳定的算法得到精确值的近似值。在计算机科学高度发展的今天，其基础计算理论的发展使计算数学进入现代化阶段。

概率论是研究随机性或不确定性等现象的数学。更精确地说，概率论是用来模拟实验在同一环境下会产生不同结果的情况。典型的随机实验有掷骰子、扔硬币、抽扑克牌以及轮盘游戏等。

数理统计学是研究有效地运用数据收集与数据处理、多种模型与技术分析、社会调查与统计分析等，对科技前沿和国民经济重大问题和复杂问题，以及社会和政府中的大量问题，如何对数据进行推理，以便对问题进行推断或预测，从而对决策和行动提供依据和建议的应用广泛的基础性学科。

应用统计数学专业是培养具备统计数学和应用数学的基础理论，具有运用数学理论和工具进行实际问题的抽象、分析、解决的能力和较强的计算机运用能力，受到科学研究的初步训练的高级专门人才。毕业生能在教育部门、科研部门、政府部门、金融系统、计算机软件公司、通讯公司等企事业单位从事教学、研究、计算机软件开发等工作。

运筹学（Operations Research，又被称作作业研究），是一门应用数学学科，利用统计学和数学模型等方法，去寻找复杂问题中的最佳或近似最佳的解答。运筹学经常用于解决现实生活中的复杂问题，特别是改善或优化现有系统的效率。 研究运筹学的基础知识包括矩阵论和离散数学，在应用方面多与仓储、物流等领域相关。因此运筹学与应用数学、工业工程专业密切相关。 运筹学是一门研究怎么样处理事情更有效的学科，比如机械动作合理安排，计算机的多线程，高层建筑材料的合理分配，不同动植物的共同养殖等都是当今社会经济发展的热点。

广义的组合数学（英语：Combinatorics）就是离散数学，狭义的组合数学是组合计数、图论、代数结构、数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究可数或离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。 组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化（最佳组合）等。

离散数学的研究基于离散空间而不是连续的数学结构。与光滑变化的实数不同，离散数学的研究对象——例如整数、图和数学逻辑中的命题——不是光滑变化的，而是拥有不等、分立的值。因此离散数学不包含微积分和分析等“连续数学”的内容。离散对象经常可以用整数来枚举。更一般地，离散数学被视为处理可数集合（与整数子集基数相同的集合，包括有理数集但不包括实数集）的数学分支。

模糊数学，亦称弗晰数学或模糊性数学。1965年以后，在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称。是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。在模式识别、人工智能等方面有广泛的应用。

应用数学是以应用为目的的明确的数学理论和方法的总称，研究如何应用数学知识到其他范畴（尤其是科学）的数学分支，可以说是纯数学的相反，应用纯数学中的结论扩展到物理学等其他科学中。应用数学的发展是以科学为依据，作为科学研究的后盾。

数学物理学是以研究物理问题为目标的数学理论和数学方法。它探讨物理现象的数学模型，即寻求物理的数学描述，并对模型已确立的物理问题研究其数学解法，然后根据解答来诠释和预见物理现象，或者根据物理事实来修正原有模型。

金融数学又称计量金融学、数学金融学，是专为金融市场而设的一门应用数学。计量金融本义上与金融经济学的范畴有密切的关系，然而前者所涉及的领域比较狭隘，理念也比后者抽象。一般而言，若金融经济学家研究一所企业当前股价的结构性原因，计量金融学家所做的便是利用当前股价作参考，以金融数学理论为基础去计算并取得相关衍生工具的公平价格（应值价格），以及风险估算。

数理生物学（英语：mathematical and theoretical biology），又称数学生物学（英语：mathematical biology）或生物数学（英语：biomathematics）是一个跨学科的领域，其主要目标是利用数学的技巧和工具为自然界，特别是生物学中的过程建模并进行分析。生物数学在生物学的理论和实践中都有广泛的应用。

"Functions of Real Variables" is a basic course for all undergruaduate students in School of Mathematical Sciences, which concentrates the Lebesgue thoery of measure and integral, and provides the knowledge and training of modern analysis for students.

"This is an undergraduate course introducing Error Analysis, Polynomial Interpolaiton, Numerical Solutions of Nonlinear Equations, Numerical Integration, Numerical Differentiation, Numerical Solution of Ordinary Differential Equations as well as Fast Fourier Transform and Monte Carlo Method that are excluded in the standard
Numerical Analysis course. The course is more focused on the mathematical analysis and principle of these algorithms and their implementations as well. Students will be expected to complete several computing projects in addition to other homework and the final examination"

Ordinary Differential Equations is a basic course for mathematical students. In this course, the students will learn the basic knowledge of ordinary differential equations, including how to solve some simple equations, the existence and uniqueness for Cauchy problem, boundary value problems as well as the theory of linear differential equations.

The course focuses on the basic theory of complex variable functions. The main contents include: complex numbers and the complex plane, complex functions and analytic functions, integrals, harmonic functions, the series of analytic functions, residues and its applications, analytic prolongation, the gamma function, conformal mapping, Laplace transformation.

Mathematical analysis is one of the most important courses for the students who wish to study the mathematics and related subjects. The course mainly includes the theory of Riemann integrals and the theory of series. The course is a basis for Mathematical analysis and for many courses such as differential equations; differential geometry, functions of one complex variable; real analysis, probability; basic physics, etc. The course provides the training for the mathematical thinking and skills.

Mathematical Statitics is a basic course with wide application, it mainly focuses on the analysis of randon sample and other data set, including how to effectively collect data, parameter estimation , hypothesis testing, linear model and statistical design. The purpose is to let the students to understand elementary ststistica concepts and ideas, to study the most commonly used statistical methods and to solve some practical problems, and to establish the way of statistical thinking.

Understand principle and theory of Data Structures and Algorithms, able to design and implement fundamental data structures and algorithms.
Covers programming, data structures, algorithms.
Topics include the organization and implementation of fundamental data structures such as list, binary tree, tree and forest, and graph; sorting and searching; data abstraction and problem solving.

The content of the course consists of polynomials, linear spaces and linear transformations. This course will train the students with mathematical thinkings and the preliminary ability for solving practical problems.

algebraic number fields, algebraic integers, ideal class group, elliptic curve, class fields theory, modular form, Weil conjecture, Iwasawa theory