代数结构与组合数学
algebraic structure and Combinatorics
1. 代数系统的基本概念
代数系统的组成要素(集合、运算、公理),二元运算的主要性质(交换律、结合律、幂等律、消去律、分配律、吸收律、单位元、零元、可逆元),导出代数系统的方法(子代数与积代数),代数系统的同态与同构(定义、分类、同态基本定理),代数系统上的同余关系与商代数(同余关系与商代数的联系、商代数的性质)
2. 半群、独异点与群
半群与独异点的定义与性质,群的定义与分类,群的基本性质(幂运算性质、消去律、群方程有唯一解、元素的阶的性质),子群,循环群(分类、生成元、子群),变换群与置换群(n元对称群),群的分解(陪集分解与Lagrange定理、共轭类分解与分类方程),正规子群,商群及性质,群的同态与同构,群的直积
3. 环与域
环的定义及基本性质,特殊的环(整环、域),子环、理想、商环及环同态
4. 格与布尔代数
格的定义与性质,子格、格同态与格的直积,模格、分配格与有补格,布尔代数
5. 组合存在性定理
鸽巢原理及其应用,Ramsey定理及其应用
6. 基本计数公式
加法法则与乘法法则,集合的排列与组合,多重集的排列与组合,二项式定理与组合恒等式,多项式定理
7. 组合计数方法
递推方程的公式求解,递推方程的其他求解方法(换元法、迭代归纳法、递归树法、尝试法等),生成函数的定义、性质及在计数中的应用,指数生成函数与组合计数,Catalan数,Stirling数
8. 组合计数定理
容斥原理(基本形式、对称筛公式、棋盘多项式及其应用),Burnside引理与Polya定理(一般形式与推广形式、在等价类计数中的应用)
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